Intonationsteori
så vitt Sven Trebard vet

There is a good description of scales at Wikipedia.

Varför består en skala av 12 toner? För att förstå det måste man först förstå en del musikakustik, och här kommer en grundkurs.

Frekvens är ett ord som beskriver hur snabbt t ex en gitarrsträng svänger ett helt varv, från toppen till botten, och till toppen igen. Frekvens mäts i enheten Hertz, som förkortas Hz. En stämgaffel ger en ton som svänger 440 gånger per sekund, dvs 440 Hz. Den frekvensen kallas A. En högre frekvens ger en högre ton.

Den frekvens som en gitarrstäng genererar beror på längd, material, och hur spänd strängen är.
Om man spänner strängen lite mer, går frekvensen upp, dvs man får en högre ton. Det är så man stämmer en gitarr.
Om man minskar längden på strängen så går tonen också upp. Man spelar alltså gitarr genom att korta av strängen med fingrarna. Om man kortar strängen till hälften så får man dubbelt så hög frekvens. Den dubbla frekvensen kallas oktav.

Amplitud är ett ord som beskriver hur mycket en sträng svänger. Ju större svängningen är, desto större amplitud har den. En större amplitud betyder att tonen är starkare, dvs den hörs mer.

Övertoner
När man knäpper på en gitarrsträng så hörs framför allt den frekvens som uppstår av att mitten på strängen svänger upp och ner. Denna ton kallas strängens grundton. Det är dock inte den enda ton som hörs.

Strängen svänger även som om den bestod av två identiska, spegelvända svängningar, där mitten av strängen står stilla. Stillastående punkter kallas svängningens noder. När den ena svängningen står som högst, står den andra som lägst. Denna svängning är i allmänhet svagare än grundtonen, och kallas överton. Eftersom spänningen och materialet är desamma, men svängningarnas längd är den halva, blir frekvensen dubbelt så hög som grundtonen. Den första övertonen är alltså grundtonens oktav.

Grundtonen har två noder, som alltid står stilla. Den första övertonen har tre noder. Nästa överton uppstår av att strängen svänger som om den var en tredjedel så lång, med fyra noder. Frekvensen är tre gånger så hög som grundtonen, och låter som en kvint över oktaven.
Observera att strängen svänger med alla övertoner samtidigt, och med olika hastigheter, så den riktiga svängningen är knepig att rita.

Den tredje övertonen är två oktaver över grundtonen, med fem noder. Det finns i princip oändligt många övertoner, men de blir svagare och svagare.

Olika övertoner förstärks olika mycket av t ex gitarrkroppen, vilket gör att en gitarr låter annorlunda än en cello. Man kan utnyttja munhålan för att förstärka och dämpa olika övertoner, vilket gör att vokaler låter olika. Man kan även, i likhet med vissa buddistiska munkar, roa sig med att framhäva olika övertoner, genom att ändra storleken på svalget och placeringen av tungan.

Om man håller fingret på mitten av en gitarrsträng, utan att trycka till, så dämpar man alla svängningar som vill att mitten ska svänga upp och ner, t ex grundtonen och den andra övertonen. Däremot så dämpas inte den första övertonen, eftersom mitten skall vara stilla iallafall. Därför låter tonen som en oktav. Likadant kan man få fram den andra övertonen genom att dämpa strängen på en tredjedel av dess längd. Grundtonen och de första och tredje övertonerna dämpas, men inte den andra övertonen. Dämpar man på en fjärdedel av längden får man två oktaver över grundtonen. Elbasisten Jaco Pastorius använde ofta dessa så kallade flöjttonerna i sitt spel.
Man kan utnyttja flöjttonerna när man stämmer ett kvart-stämt instrument, t ex gitarr eller elbas. Den tredje övertonen för en sträng är faktiskt samma ton som den andra övertonen för strängen ovanför. Om man dämpar E-strängen vid en fjärdedel och A-strängen vid en tredjedel skall man få samma ton. Tyvärr innebär skillnaden mellan den tempererade och harmoniska skalan att stämningen inte blir perfekt.

Intervall
För att beskriva hur en svängning ser ut, jämfört med andra svängningar, brukar man använda ett diagram som visar hur mycket svängningen har rört sig från mitten, som en funktion av tiden. I diagrammet till höger startar man från vänster, där strängen just passerar mitten. Sedan rör den sig uppåt ett tag, tills den vänder tillbaka, passerar mitten, passerar lägsta nivån, och går förbi mitten igen.

I nästa diagram ser vi grundtonen och dess första överton i samma bild. Grundtonen är svart, och oktaven blå. Oktaven svänger två varv på samma tid som grundtonen svänger ett varv. Sedan upprepas allt igen.
Man brukar säga att när allt börjar upprepas igen, har svängningarna kommit i fas.

Människans hörsel fungerar på samma sätt som resten av hjärnan. Hjärnan försöker alltid hitta mönster i de intryck man får. När man spelar en grundton och dess oktav blir hjärnan glad av att den hittar mönster redan efter ett varv för grundtonen. Oktaven har då hunnit två varv. Detta gör att intervallet upplevs som rent.

En kvint är en ton som har 50% högre frekvens än grundtonen. Om grundtonen är 100 Hz, är kvintens frekvens 150 Hz. Om grundtonen är 180 Hz, är kvintens frekvens 270 Hz. En grundton och dess kvint kommer i fas efter två varv för grundtonen, dvs tre varv för kvinten. Därför låter ett kvintintervall rent.

Så varför finns det 12 toner på pianot?

Om man delar in en oktav i tolv delar, där varje del är en lika stor ökning av frekvensen, och den tolfte ökningen blir oktaven, så hittar man toner som ligger väldigt nära de toner som låter bra. Varje ökning motsvarar ungefär 5,95% ökning av frekvensen. För att mäta intervall används måttet cent. 100 cent är lika med en halvton på ett piano. 1200 cent är en oktav. En skala där varje halvtonsintervall är 100 cent kallas för en tempererad skala. För de matematiskt bevandrade kan man säga att cent-skalan är logaritmisk, där frekvensen är lika med 10^(cent/3986) * grundtonens frekvens, och antalet cent är lika med 3986 * log (frekvens/grundtonens frekvens). 3986 är lika med 1200 / log 2.

Svaret på frågan är alltså att siffran 12 är godtycklig, men den fungerar bättre än många andra.

Den tempererade skalan är ganska bra för de flesta intervall, och den är lika felstämd i alla tonarter. Pianot är stämt med den tempererade skalan.
Andra instrument är harmoniskt stämda. Då bestäms inte tonen av jämnt antal cent, utan av hur frekvenserna förhåller sig till varandra. Instrumentet måste då vara stämda i en viss tonart, och låter gudomligt i den tonarten. De kan dock låta riktigt illa i andra tonarter.
Sångare har fördelen, och nackdelen, att inte vara stämda. Därför kan vi sjunga harmoniskt i alla tonarter, även om det är svårt. T ex bör man inte försöka härma pianots terser i ackord, utan ta den lilla tersen högre, och den stora tersen lägre än pianot, för att det skall låta riktigt bra.
Notera också att den harmoniska skillnaden mellan den stora och lilla tersen, sexten och septen bara är ca 70% av en tempererad halvton.

För intervall över en oktav är det bara att lägga till 1200 cent respektive 1.

Tabellen visar varför ett harmoniskt stämt instrument låter illa i fel tonart. Om man har ett instrument som är stämt med C som grundton, men spelar D-dur, kommer kvintintervallet, som skall vara så nära 702 cent som möjligt, att vara lika med 884 minus 203, dvs 681 cent. Kvinten är alltså ungefär en femtedels halvton fel.

Hittills har vi bara sett hur två toner låter mot varandra. Vad händer om man spelar tre toner samtidigt?

Grundtonens övertoner bidrar inte till att öka antalet varv, eftersom alla kommer i fas när grundtonen bara hunnit ett varv.

En dur-treklang, med grundton, stor ters och kvint kommer i fas när grundtonen hunnit fyra varv, den stora tersen fem varv, och kvinten sex varv. Därför låter den ren och glad, speciellt om de harmoniska tonerna spelas istället för de tempererade.

En moll-treklang, med grundton, liten ters och kvint kommer i fas när grundtonen hunnit tio varv, den lilla tersen 12 varv och kvinten 15 varv. Den låter därför inte alls lika självklar som dur-ackordet.

Givetvis beror upplevelsen även på hur många olika toner som spelas. Om man t ex spelar grundtonen, en liten ters, en överstigande kvart, en liten sext, och en liten sept, kommer svängningarna i fas efter fem varv, dvs snabbare än moll-treklangen. Det är dock inte säkert att den låter mer harmonisk.

Svävningar
Hur stor är då skillnaden mellan en harmonisk och en tempererad kvint, dvs 2 cent. Kan man höra skillnaden? För att beskriva detta skall jag beskriva vad som händer när två nästan likadana toner spelas samtidigt. I bilden till höger visas två toner. Den svarta hinner 7 svängningar när den blå hinner 8. Bilden visar två hela cykler.

Om man lägger ihop dessa svängningar får man den svarta tonen på bilden till höger. När svängningarna är i fas förstärker dom varandra, men om den ena är som högst när den andra är som lägst så tar dom ut varandra. När man hör två nästan likadana toner samtidigt kommer det därför att låta som om styrkan (amplituden) på tonerna varierar. Detta kallas svävning. Amplituden (svävningen) visas med den blå linjen. Frekvensen, dvs tonhöjden, är samma som den snabbare (högre) tonen. Ju närmare tonerna är varandra, desto längre tid tar det innan dom kommer i fas, och amplituden svävar långsammare. Detta kan man utnyttja när man stämmer en gitarr, t ex genom att jämföra övertonerna på två stängar med varandra. När den sammanlagda tonen har slutat sväva är strängarna stämda mot varandra.

Hur mycket svävar amplituden om man hör två toner, där den ena är att stämgaffel-a, dvs 440 Hz, och den andra är 2 cent högre? 2 cent är 0,1156%. 2 cent högre än 440 Hz är alltså 440,51 Hz. De kommer alltså i fas efter knappt två sekunder. Skillnaden är knappt hörbar. Om frekvensen är en oktav högre kommer amplituden att sväva dubbelt så fort, dvs ungefär en gång per sekund.

Om skillnaden är 16 cent, dvs skillnaden mellan en tempererad och en harmonisk liten ters, kommer amplituden att sväva 8 gånger så snabbt, dvs 4 gånger per sekund vid 440 Hz. Detta är en klart hörbar skillnad.

© 2003-2012 Sven Trebard www.wiz.se